2009年2月1日日曜日

黄金比


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もっとも美しいとされる比率。
長方形の縦横比率でも黄金比がとても綺麗。名刺も黄金比。


定義


¥phi = (1+¥sqrt5)/2 ¥approx 1.6180
a:b = b:(a+b)となるような比a:bのこと


性質


たくさんあるけど1つだけ。
黄金比1:¥phiをa:bとおくと、
a:b = b:(a+b)
b^2 = a^2 + ab
つまり
¥phi^2 = ¥phi + 1


これを元に、等比数列が求まる。
 ¥phi^3 = ¥phi^2 + ¥phi = (¥phi + 1) + ¥phi = 2¥phi + 1
 ¥phi^4 = ¥phi(2¥phi + 1) = 2¥phi^2 + ¥phi = 2(¥phi + 1) + ¥phi = 3¥phi + 2
¥phi^5 = 5¥phi + 3
¥phi^6 = 8¥phi + 5

係数にフィボナッチ数列が現れる。


フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する

フィボナッチ数列までの宿題





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