フィボナッチ数列の定義
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …
近似式
は床関数と呼ばれるもので、要は小数点以下切り捨て
なので、これは四捨五入
近似式の証明
まずはこれを証明する。
3項漸化式の特性方程式
を解くと、
これを、、
とおく。特性方程式の解から逆に漸化式を作成すると、…(1)
…(2)
なので、
(1)、(2)はそれぞれ
初項、公比
の等比数列
初項、公比
の等比数列
なので、…(3)
…(4)
が得られる。
(3)(4)の差をとると、
ここで、、
、
なので
よって任意のnに対して次式が成り立つ
ここで であるから
n < 1 のとき であり、
である。
よって
数学的帰納法だと
の証明は数学的帰納法だと、
よって任意のnに対して次式が成り立つ
フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する
黄金比の説明のときに残しておいた宿題。
黄金比の値は、二次方程式 x2 = x + 1 の正の解なので、これで証明終了
0 件のコメント:
コメントを投稿