フィボナッチ数列

フィボナッチ数列の定義

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

近似式

は床関数と呼ばれるもので、要は小数点以下切り捨て
なので、これは四捨五入

近似式の証明

まずはこれを証明する。


３項漸化式の特性方程式を解くと、

これを、
、
とおく。特性方程式の解から逆に漸化式を作成すると、
…(1)
…(2)


なので、
(1)、(2)はそれぞれ
初項、公比の等比数列
初項、公比の等比数列
なので、
…(3)
…(4)
が得られる。


(3)(4)の差をとると、



ここで、、、なので


よって任意のnに対して次式が成り立つ



ここで であるから
n < 1 のとき であり、
である。


よって

数学的帰納法だと

の証明は数学的帰納法だと、






よって任意のnに対して次式が成り立つ

フィボナッチ数列の隣り合う 2 項の比は黄金比に収束する

黄金比の説明のときに残しておいた宿題。






黄金比の値は、二次方程式 x2 = x + 1 の正の解なので、これで証明終了